Линейность, признак сравнения

Если $\sum a_{n}(x)$ и $\sum b_{n}(x)$ сходится равномерно, то $\forall{~ОГР~\alpha(x), \beta(x)}~~\sum(\alpha(x) a_{n}(x) + \beta(x)b_{n}(x))~-$ сходится равномерно

$|\alpha(x)| \leq A,~~~|\beta(x)|\leq B$ $$|\sum_{k=m+1}^{n} \alpha(x)a_{n}(x) + \beta(x)b_{n}(x)| \leq$$ $$\leq A|\sum_{k=m+1}^{n} a_{k}(x)|+ \beta|\sum_{k=m+1}^{n} b_{k}(x)|<$$ $$< \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

$|a_{n}(x)| \leq b_{n}(x),~~~\forall{n \in N}~~\forall{x \in X}~~$ - Если $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ сходится равномерно $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ сходится равномерно и абсолютно - Если $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ не сходится равномерно и абсолютно $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ не сходится равномерно

$1) |\sum_{k=m+1}^{n} a_{k}(x) | \leq \sum_{k = m+1}^{n} |a_{k}(x)| \leq \sum_{k=m+1}^{n} b_{k}(x) < \varepsilon$ $2) \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ сходится равномерно $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ сходится равномерно $\Rightarrow$ противоречие